Hàm mục tiêu đa chiều là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa hàm mục tiêu đa chiều

Hàm mục tiêu đa chiều (multi-objective function) là một biểu diễn toán học mô tả đồng thời nhiều tiêu chí cần tối ưu trong một hệ thống. Thay vì chỉ tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng duy nhất, hàm mục tiêu đa chiều yêu cầu tối ưu nhiều hàm mục tiêu cùng lúc, thường có bản chất mâu thuẫn lẫn nhau. Mỗi hàm mục tiêu trong tập hợp đó phản ánh một khía cạnh khác nhau của bài toán, ví dụ như chi phí, hiệu suất, độ tin cậy hoặc độ trễ.

Hàm mục tiêu đa chiều thường được ký hiệu như sau: $\mathbf{f}(x) = [f_1(x), f_2(x), \dots, f_k(x)]$, trong đó $x \in \mathbb{R}^n$ là vectơ biến đầu vào (biến thiết kế hoặc biến quyết định), và $f_i(x)$ là hàm mục tiêu thứ i trong tổng số k mục tiêu cần tối ưu. Không gian hàm $\mathbf{f}$ có miền giá trị trong $\mathbb{R}^k$, phản ánh không gian mục tiêu đa chiều.

Trong nhiều ứng dụng thực tế, các hàm mục tiêu không độc lập mà liên kết qua ràng buộc tài nguyên, cấu trúc hệ thống hoặc mục tiêu phụ. Do đó, bài toán thường đi kèm tập ràng buộc $g_j(x) \le 0$, $h_j(x) = 0$ cho $j = 1, \dots, m$, tạo thành bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc.

Phân biệt đơn mục tiêu và đa mục tiêu

Tối ưu đơn mục tiêu (single-objective optimization) chỉ nhằm tìm cực trị cho một hàm mục tiêu duy nhất, với mục tiêu rõ ràng và định lượng cụ thể. Trong khi đó, tối ưu đa mục tiêu (multi-objective optimization – MOO) xử lý đồng thời nhiều hàm mục tiêu mà không thể quy đổi hoàn toàn về một đại lượng tổng hợp đơn nhất. Các mục tiêu này có thể xung đột – ví dụ, tăng hiệu suất thường đi kèm tăng chi phí hoặc giảm độ bền.

Bảng so sánh dưới đây cho thấy một số điểm khác biệt then chốt giữa hai loại bài toán:

Tiêu chí	Đơn mục tiêu	Đa mục tiêu
Số lượng hàm mục tiêu	1	2 trở lên
Nghiệm mong muốn	Giá trị cực trị (min hoặc max)	Tập nghiệm tối ưu Pareto
Tiêu chí đánh giá	Giá trị hàm đơn	Sự đánh đổi giữa các mục tiêu
Biểu diễn đầu ra	1 điểm tối ưu	Tập nghiệm không bị ưu trội

Trong thực tế, các bài toán thiết kế hệ thống, điều khiển robot, học máy hoặc tối ưu năng lượng đều thuộc dạng đa mục tiêu, do cần tối ưu đồng thời nhiều đặc tính kỹ thuật khác nhau.

Tập nghiệm Pareto và tính không ưu trội

Do các mục tiêu trong bài toán đa mục tiêu thường mâu thuẫn nhau, không tồn tại nghiệm duy nhất đồng thời tối ưu mọi hàm. Vì vậy, khái niệm tối ưu Pareto (Pareto optimality) được sử dụng. Một nghiệm $x^*$ được gọi là nghiệm Pareto nếu không tồn tại nghiệm khác $x$ sao cho mọi mục tiêu đều không tệ hơn và có ít nhất một mục tiêu tốt hơn. Định nghĩa toán học như sau:

$x^* \in \Omega \text{ là tối ưu Pareto } \Leftrightarrow \nexists x \in \Omega : \forall i, f_i(x) \le f_i(x^*), \exists j: f_j(x) < f_j(x^*)$

Tập hợp các nghiệm không bị ưu trội (non-dominated solutions) tạo thành biên Pareto (Pareto front), là tập nghiệm đầu ra mong muốn trong các bài toán MOO. Biên này thể hiện rõ các lựa chọn đánh đổi giữa các mục tiêu, từ đó người dùng hoặc thuật toán có thể chọn theo ưu tiên cụ thể.

Ví dụ trong bài toán thiết kế hệ thống năng lượng, một điểm trên biên Pareto có thể đại diện cho phương án tiết kiệm chi phí nhưng giảm hiệu suất, trong khi điểm khác tối ưu hiệu suất nhưng chi phí cao hơn. Không có điểm nào "tốt toàn diện", mỗi điểm đều là lựa chọn hợp lý tùy ngữ cảnh.

Các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Nhiều phương pháp khác nhau được phát triển để giải các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tùy theo độ phức tạp của không gian mục tiêu, tính liên tục của hàm và số lượng mục tiêu. Các nhóm phương pháp phổ biến gồm:

• Phương pháp trọng số (weighted sum): Gộp các hàm mục tiêu thành một hàm đơn $F(x) = \sum_{i=1}^{k} w_i f_i(x)$ với $w_i$ là trọng số người dùng chỉ định.
• Phương pháp ε-ràng buộc (ε-constraint): Tối ưu một mục tiêu, biến các mục tiêu còn lại thành ràng buộc phụ như $f_j(x) \le \epsilon_j$.
• Thuật toán tiến hóa đa mục tiêu (MOEA): Dùng các phương pháp heuristic dựa trên quần thể như NSGA-II, SPEA2 để tìm nhiều nghiệm Pareto đồng thời.

Các thuật toán tiến hóa có ưu điểm là không yêu cầu tính liên tục hay khả vi của hàm mục tiêu, phù hợp với bài toán phi tuyến, không lồi hoặc không xác định rõ ràng. Chúng được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống kỹ thuật phức tạp.

Tham khảo mã nguồn mở và giải thuật tại IIT Kanpur – KANGAL hoặc tài nguyên học thuật tại ScienceDirect – Multi-objective Optimization.

Ứng dụng trong kỹ thuật và khoa học

Hàm mục tiêu đa chiều xuất hiện trong hầu hết các bài toán thực tế có tính phức hợp cao, nơi các mục tiêu kỹ thuật không thể được tối ưu hóa đồng thời mà cần phải đánh đổi. Một số lĩnh vực ứng dụng điển hình:

• Kỹ thuật thiết kế: tối ưu hình học, khối lượng, độ bền và chi phí sản xuất trong thiết kế máy bay, xe hơi, vật liệu composite.
• Vận hành hệ thống: tối ưu lịch trình giữa thời gian thực hiện, độ tin cậy và tiêu thụ năng lượng trong mạng cảm biến hoặc nhà máy sản xuất.
• Học máy: cân bằng giữa độ chính xác (accuracy), độ phức tạp mô hình (model size), và tốc độ suy luận (inference time).
• Tài chính: quản lý danh mục đầu tư để tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng đồng thời giảm thiểu rủi ro (biến động giá, VaR).

Ví dụ, trong bài toán thiết kế một cấu trúc chịu lực, hàm mục tiêu có thể bao gồm: khối lượng nhỏ nhất $f_1(x)$, độ võng nhỏ nhất $f_2(x)$, và chi phí chế tạo thấp nhất $f_3(x)$. Mỗi lựa chọn vật liệu hay hình dạng ảnh hưởng tới toàn bộ mục tiêu. Giải pháp cuối cùng được lựa chọn từ biên Pareto tùy theo ưu tiên của kỹ sư thiết kế.

Chuẩn hóa và đánh giá nghiệm

Sau khi tìm được tập nghiệm Pareto, vấn đề tiếp theo là đánh giá chất lượng của tập nghiệm để so sánh các thuật toán hoặc hỗ trợ lựa chọn nghiệm tối ưu cuối cùng. Do tập nghiệm thường không rời rạc và có thể rất lớn, các chỉ số định lượng được sử dụng để đánh giá:

• Hypervolume (HV): thể tích không gian mục tiêu bị thống trị bởi tập nghiệm, được đo từ một điểm tham chiếu. Giá trị HV càng lớn chứng tỏ nghiệm càng "phủ rộng" vùng tối ưu.
• Spread/Spacing: phản ánh sự phân bố đều của nghiệm trên biên Pareto. Tránh tình trạng các nghiệm tập trung dày tại một vùng và bỏ sót vùng còn lại.
• Generational Distance (GD): đo khoảng cách trung bình từ nghiệm tìm được đến biên Pareto lý tưởng (nếu biết).
• Inverted Generational Distance (IGD): đo mức độ bao phủ nghiệm tìm được lên tập nghiệm chuẩn.

Bảng sau minh họa các chỉ số phổ biến trong đánh giá giải thuật đa mục tiêu:

Chỉ số	Ý nghĩa	Xu hướng tốt
Hypervolume	Diện tích/Thể tích chiếm giữ bởi nghiệm	Càng cao càng tốt
Spacing	Mức độ phân tán nghiệm	Càng thấp càng đều
GD / IGD	Khoảng cách đến biên Pareto chuẩn	Càng thấp càng tốt

Việc chuẩn hóa dữ liệu đầu ra và sử dụng các chỉ số trên giúp đánh giá khách quan các thuật toán như NSGA-II, MOEA/D hay SPEA2 trong môi trường thử nghiệm.

Hàm mục tiêu đa chiều trong học sâu và AI

Trong học sâu và trí tuệ nhân tạo, bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong mô hình huấn luyện mạng nơ-ron, đôi khi ta cần tối thiểu đồng thời nhiều hàm mất mát, ví dụ như tổng hợp giữa hàm mất mát phân loại, regularization và penalty kiến trúc.

Trường hợp điển hình là học đa nhiệm (multi-task learning), trong đó một mạng phải học nhiều tác vụ khác nhau cùng lúc, mỗi tác vụ có một hàm mất mát riêng. Hàm mục tiêu tổng hợp có dạng:

$L(\theta) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \cdot \mathcal{L}_i(\theta)$ với $\lambda_i$ là hệ số điều chỉnh cho từng tác vụ.

Trong học tăng cường đa mục tiêu (multi-objective reinforcement learning – MORL), agent phải cân bằng giữa nhiều mục tiêu như tốc độ, an toàn, hiệu quả tài nguyên. Các thuật toán như Pareto Q-learning, Linear Scalarization, hoặc Actor-Critic phân nhánh đã được đề xuất cho bối cảnh này. Một ví dụ tiêu biểu là ứng dụng MORL trong xe tự hành, nơi cần đồng thời tránh va chạm, tối ưu quãng đường, và tiết kiệm năng lượng.

Theo ArXiv: Multi-Objective Optimization in Machine Learning, hàm mục tiêu đa chiều đang trở thành xu hướng quan trọng trong tự động hóa thiết kế mô hình (AutoML), huấn luyện mô hình gọn nhẹ và học đa đại lượng.

Khó khăn và thách thức trong tối ưu đa mục tiêu

Tối ưu hóa đa mục tiêu, dù có tiềm năng ứng dụng lớn, vẫn đối mặt nhiều thách thức kỹ thuật và toán học:

• Không gian giải pháp phức tạp: Pareto front có thể phi tuyến, không lồi, thậm chí rời rạc, khiến giải thuật tìm nghiệm gặp khó khăn.
• Khó xác định ưu tiên: Trọng số giữa các mục tiêu thường mang tính chủ quan hoặc thay đổi theo bối cảnh.
• Khó hình dung khi số mục tiêu lớn: Khi $k > 3$, việc biểu diễn và phân tích biên Pareto trở nên phức tạp.
• Chi phí tính toán cao: Việc đánh giá nhiều nghiệm song song với nhiều mục tiêu có thể tốn tài nguyên tính toán lớn.

Các hướng giải quyết đang được nghiên cứu bao gồm: mô hình thay thế (surrogate modeling), tối ưu bayesian đa mục tiêu, sử dụng mạng nơ-ron để học biểu diễn không gian mục tiêu và giảm số chiều.

Hướng nghiên cứu hiện tại

Các xu hướng hiện đại trong nghiên cứu hàm mục tiêu đa chiều đang tập trung vào tích hợp với học máy và hệ thống thông minh. Một số hướng đi nổi bật:

• Metaheuristics kết hợp học sâu: sử dụng mạng nơ-ron học biểu diễn biên Pareto hoặc định hướng quần thể tìm kiếm.
• AutoML đa mục tiêu: tự động chọn mô hình và tham số tối ưu đồng thời cho độ chính xác, tốc độ và dung lượng bộ nhớ.
• Tối ưu hóa trên không gian rời rạc: áp dụng MOO cho lựa chọn cấu trúc mạng, module xử lý tín hiệu, hoặc lựa chọn đặc trưng.
• Ứng dụng thực tế: kiểm soát hệ năng lượng đô thị, tối ưu lịch trình logistic thông minh, hệ thống gợi ý đa tiêu chí.

Theo Frontiers in AI, nghiên cứu đang dịch chuyển từ giải bài toán MOO đơn lẻ sang tích hợp vào pipeline học máy, kiểm soát hệ thống và ra quyết định tự động.

Tài liệu tham khảo

1. Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. Springer.
2. Coello CAC. Evolutionary Multi-Objective Optimization. ScienceDirect, 2021.
3. IIT Kanpur – KANGAL: Multi-objective Optimization Codes
4. ArXiv – Multi-Objective Optimization in Machine Learning
5. Frontiers in Artificial Intelligence – Advances in Multi-objective AI